あおいのMEちゃんねる

臨床工学技士を目指す大学3年生(20)です。

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複雑な合成抵抗の問題を練習しよう

こんにちは、あおいです。

今回は 

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ほのか

合成抵抗の問題って、カンタンなものなら解けるんだけど、複雑なものになるとどこから手を付けていいか分からなくなる・・・。

というお悩みに答えます!

この記事の内容

→複雑な回路の合成抵抗の求め方(立体的な回路、線対称な回路など)

 

複雑な合成抵抗の求め方にはいくつかパターンがあります。それは

  • 回路を線対称に分ける
  • 電流が通るルートを考え、電流が通らない導線は省く

の2つです。練習問題①~③が「回路を線対称に分ける」問題で、練習問題④が「電流が通るルートを考え、電流が通らない導線は省く」問題です。

「どういうこと?」と思っても大丈夫!きっと見たことがある問題もあるはずです。一緒に考えていきましょう。

 複雑な合成抵抗の問題

練習問題①

問:図のように四角錐の各辺に1個ずつ抵抗器が接続された回路がある。AB間の合成抵抗は何Ωか。ただし、抵抗器の大きさはすべて15[Ω]とする。(第2種ME試験 第40回 午前27)

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: img39783-27-0.jpg
 

https://mgkca.com/question/similview/6267

練習問題②

問:図の抵抗Rはすべて60Ωである。AB間の抵抗は何Ωか。(第2種ME試験 第30回 午前21)

練習問題③

問:R[Ω]の抵抗12個を図のように上下左右対称に接続したとき、ab 間の合成抵抗はRの何倍か。
画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 26AM47-0.jpg
 
https://mgkca.com/question/similview/6267

練習問題④

問:図に示すような抵抗の直並列回路がある。この回路に直流電圧5[V]を加えたとき、電源から流れ出る電流I[A]の値として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。(電験三種 理論分野 平成25年 問8)

 

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗26.jpg解答と解説

練習問題①

解答

10[Ω]

解説

この図を真上から見た図を描いてみましょう。下の図のような形になるのは分かりますか?

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗-1-edited-1.jpg
 

ここで、A点をスタート地点とした電流の流れがどのようになるのか考えてみます。

電流には、図形の線対称の部分に同じ分だけ流れるという性質があります。この場合、AとBが通る線を対称にして考えると、①と③が線対称となるので、Aに流れ込んできた電流は、①と③にそれぞれ同じ分だけ流れます。ちなみに②には、(Aに流れ込んできた電流)ー(①と③に流れた電流)が流れます。

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗1-edited-1.jpg
 

①と③に同じ電流が流れるということは、下の図の部分をC点とD点とすると、CとDは同じ電圧になります。 

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あおい

流れる電流も一緒で抵抗値も一緒なら電圧降下も同じになるよね!

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗2-edited-1.jpg
 

CとDが同じ電圧ということは、CD間に電流は流れないということになります。つまり、CDに挟まれた抵抗器2つには電流は流れません。

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗3-edited-1.jpg
 

なので、CD間の部分は省いて考えることができます。

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗4-edited-1.jpg
 

こうすれば、少しは考えやすくなるのではないでしょうか?1つの導線に2つの抵抗器がある並列回路になります。

まず、2つの抵抗値を1つにまとめると、それぞれ30[Ω]。まとめた抵抗器3つの合成抵抗は1/Ro=1/30+1/30+1/30より10[Ω]となります。

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画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗6-1-edited.jpg
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ほのか

あの、1つ質問なんですけど、この問題ではAB間を軸にして考えてたけど、CD間を軸にして考えることはできないんですか?

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あおい

CD間を軸にして同じように考えると、AB間に電流が流れないことになってしまう。

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗21-1-edited.jpg
 

問題では「AB間の」合成抵抗を聞いてるから、CD間を軸にしてしまうと「CD間の」合成抵抗を求めることになってしまうんだよ。

練習問題②

解答

40[Ω]

解説

この問題も、練習問題①と同じような考え方で解いてみましょう。練習問題②は、すでに立体的な図を真上から見た図になっています。

A点をスタート地点とした電流の流れがどのようになるのか考えてみます。練習問題①と同じようにAとBが通る線を対称にして考えると、①と③が線対称となるので、Aに流れ込んできた電流は①と③にそれぞれ同じ分だけ流れます。

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗15-edited.jpg
 

①と③に同じ電流が流れるということは、下の図の部分をC点とD点とすると、CとDは同じ電圧になります。

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗16-edited.jpg
 

CとDが同じ電圧ということは、CD間に電流は流れないということになります。つまり、CDに挟まれた抵抗器2つには電流は流れません。

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗17-1-edited.jpg
 

なので、CD間の部分は省いて考えることができます。

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗18-2-edited.jpg
 

こうすれば、1つの導線に2つの抵抗器がある並列回路になります。

まず、2つの抵抗値を1つにまとめると、それぞれ120[Ω]。まとめた抵抗器3つの合成抵抗は1/Ro=1/120+1/120+1/120より40[Ω]となります。

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練習問題③

解答

1.5[倍]

解説

この問題も、練習問題①や②と同じように線対称を使って考えますが、さらに複雑になっています。

まず、aとbを軸として、抵抗を上半分と下半分に分けます。

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上下に分けたら、ちょっと回路の形を分かりやすく変えてみましょう。真ん中の4つの導線が合わさっているところは同電位なので電流は流れず、導線はないものと考えることができます。

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗24-edited.jpg
 
画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗23-1-edited.jpg
 

こうしたら、答えが見えてきませんか?上半分の合成抵抗を考えると、3R[Ω]。下半分も同じ形なので3R[Ω]。

上半分の合成抵抗と下半分の合成抵抗をそれぞれ1つの抵抗器にまとめてみます。すると、下のような単純な並列回路になるのは分かるでしょうか?

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗25-edited-1.jpg
 

上の図の合成抵抗は1.5R[Ω]となり、Rの1.5倍になるので答えは1.5[倍]です。

練習問題④

解答

(2)

解説

この問題は「電流はどのようなルートで流れるか」を考えてみましょう。先に回路の合成抵抗を出してから、電源の5[V]で割って電流値を出します。。

まず、電源から流れる電流は、40[Ω]と10[Ω]の二手に分かれます。ここまでは分かるでしょうか?

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗27-edited.jpg
 

そのあと、電流はどう流れると思いますか?10[Ω]の抵抗に流れた電流は、抵抗のない導線に行きたいので、20[Ω]の抵抗には流れず、下方向の導線に流れます。

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗28-edited.jpg
 

10[Ω]から下方向に流れた電流は50[Ω]の抵抗には流れず、左方向に流れます。

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗29-edited.jpg
 

左方向に流れた電流は40[Ω]の抵抗から流れてきた電流と合わさって、下方向に流れます。そして、電源へと戻っていくのです。

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗30-edited.jpg
 

結局、電流が流れるルートをまとめると下の図のようになります。

画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗31-edited.jpg
 

電流が流れるルートをもとに、回路を簡単に書き換えてみましょう。

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画像に alt 属性が指定されていません。ファイル名: 合成抵抗33-edited.jpg
 

40[Ω]と10[Ω]は並列関係なので、2つの合成抵抗は8[Ω]。8[Ω]と5[Ω]は直列関係なので2つの合成抵抗は13[Ω]。流れる電流は、電源5[V]÷13[Ω]≒0.4[A]となります。

まとめ

複雑な合成抵抗を求めるときは、まず下の2つの方法を試してみればたいていの問題は解けるはずです。

  • 回路を線対称に分ける
  • 電流が通るルートを考え、電流が通らない導線は省く