あおいのMEちゃんねる

臨床工学技士を目指す大学2年生(20)です。

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ラプラス変換を使った過渡現象の練習問題~直列回路編~

今回は、前回紹介した「ラプラス変換を使った過渡現象の解き方~直列回路編~」の練習問題です。

 

過渡現象をラプラス変換で解くやり方は理解できましたか?

 

ここでは、前回の記事をもとに実際に国家試験に出た問題を解いてみましょう!

1.RL直列回路

問:図の回路でスイッチを閉じてから1ms後にインダクタの両端にかかる電圧[V]に最も近いのはどれか。ただし、白然対数の底eは2.7とする。(臨床工学技士国家試験 第31回 午前51)

 〇解説

まず、電圧に関する式を立てます。

$$Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}=E$$

両辺をラプラス変換して

$$RI(s)+L(sI(s)-i(0))=\frac{E}{S}$$

\(i(t)=0\)より

 \displaystyle RI(s)+LsI(s)=\frac{E}{S}

「\(I(s)=○○\)」の形に変形して

$$I(s)=\frac{E}{s(R+Ls)}=\frac{E}{Rs}-\frac{EL}{R(R+Ls)}=\frac{E}{R}(\frac{1}{s}-\frac{L}{R+Ls})$$

\(I(s)\)を逆ラプラス変換して

\begin{align*} i(t)=&\mathcal{L}^{-1}[I(s)] =\mathcal{L}^{-1}[\frac{E}{R}(\frac{1}{s}-\frac{L}{R+Ls})]=\mathcal{L}^{-1}[\frac{E}{R}(\frac{1}{s}-L\frac{1}{R+Ls})]\\ =&\mathcal{L}^{-1}[\frac{E}{R}(\frac{1}{s}-L\frac{\frac{1}{L}}{\frac{R}{L}+s})]=\mathcal{L}^{-1}[\frac{E}{R}(\frac{1}{s}-\frac{1}{\frac{R}{L}+s})]=\frac{E}{R}(1-\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t}) \end{align*}

問題で与えられた数値を代入して

$$i(t)=\frac{E}{R}(1-\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t})=\frac{1.5}{1k}(1-\mathrm{e}^{-\frac{1k}{1}t})=0.0015(1-\mathrm{e}^{-1000t})$$

\(V_L\)を求めるのですが、\(V_R\)の方が求めるのが簡単なので、まずは\(V_R\)を求めます。

$$V_R=Ri(t)=1k×0.0015(1-\mathrm{e}^{-1000t})=1.5(1-\mathrm{e}^{-1000t})$$

求める電圧は、スイッチを閉じてから1ms後の電圧なので、tに1m[s]を代入します。

$$V_R=1.5(1-\mathrm{e}^{-1000t})=1.5(1-\mathrm{2.7}^{-1000×1m})=1.5(1-\mathrm{2.7}^{-1})=0.945$$

\(V_L=E-V_R\)で求められるので

$$V_L=1.5-V_R=1.5-0.945\fallingdotseq0.6[V]$$

\(V_R\)を求めてから\(V_L\)を求めるときは、\(V_L=E-V_R\)の工程を忘れないようにして下さいね!

2.RC直列回路

問:図の回路のスイッチSを閉じて10ms後のVcに最も近い電圧は何Vか。ただし、スイッチを閉じる前、コンデンサには電荷は充電されていないものとし、自然対数の底eは2.7とする。(第2種ME試験 第37回 午前30)

 〇解説

まず、電圧に関する式を立てます。

$$Ri(t)+\frac{q(t)}{C}=E$$

\(q(t)\)を\(i(t)\)に変換します。

$$Ri(t)+\frac{\int i(t) dt}{C}=E$$

両辺をラプラス変換して

$$RI(s)+\frac{1}{C}(\frac{I(s)}{s}+\frac{q(0)}{s})=\frac{E}{s}=E$$

\(q(0)=0\)なので

$$RI(s)+\frac{I(s)}{Cs}=\frac{E}{s}$$

「\(I(s)=○○\)」の形に書き換えて、

 \displaystyle I(s)=\frac{E}{s}×\frac{Cs}{RCs+1}=\frac{EC}{RCs+1}=EC\frac{1}{RCs+1}=EC\frac{\frac{1}{RC}}{s+\frac{1}{RC}}=\frac{E}{R}×\frac{1}{s+\frac{1}{RC}}

両辺を逆ラプラス変換して

$$i(t)=\frac{E}{R}\mathrm{e}^{-\frac{1}{RC}t}$$

問題文で与えられた数値を代入して

$$i(t)=\frac{10}{10k}\mathrm{e}^{-\frac{1}{10k×1μ}t}=0.001\mathrm{e}^{-100t}$$

まず\(V_R\)の値を求めます。

$$V_R=Ri(t)=10k×0.001\mathrm{e}^{-100t}=10\mathrm{e}^{-100t}$$

\(t=10ms\)、\(e=2.7\)より、

$$V_R=10\mathrm{2.7}^{-100×10m}=10\mathrm{2.7}^{-1}=10×\frac{1}{2.7}\fallingdotseq3.7$$

求めるのは\(V_C\)なので、\(V_C=E-V_R\)より

$$V_C=10-3.7=6.3[V]$$